গাণিতিক ধাঁধা : ম্যাজিক ল্যান্ড ( জাদুর জমি)

Coder Cart এ আপনাকে স্বাগতম

গণিত নিয়ে ব্লগে এটাই আমার প্রথম লিখা। ব্লগিং এ নতুন বিধায় কোন ভুল হলে সকলেই নিজগুণে ক্ষমা করে দিবেন। গণিতে পড়ি বলে গ্রামের বাড়িতে গেলে শেষ বয়সী
বৃদ্ধ লোকগুলো গাণিতিক ধাঁধা নিয়ে হাজির হয়ে যায়। একটু ভুল করলেই বিজয়ের অট্টহাসি হেসে পুরোনো ইতিহাস বলতে শুরু করে। আজকের ধাঁধাটা এমনি একজন ব্যক্তি আমাকে জিজ্ঞাস করেছিল। ভাগ্যিস যে মোবাইলটা সাথে ছিল। হিসাবের কথা বলে কয়েক লাইনের একটা প্রোগ্রাম লিখে উত্তর বের করতে পেরেছিলাম। প্রোগ্রাম এর কথা শুনে ভয় পাওয়ার কিছু নাই। ধাঁধাটা আসলে একটা গাণিতিক সমস্যা।

ধাঁধাটা হল: একজন লোক, ধরাযাক ডেলটা সাহেব এর তিন খন্ড জাদুর জমি আছে। তিনি জমিগুলোর প্রত্যেকটিতে সমান পরিমান বীজ বপন করবেন। কিন্তু সমস্যা হল, প্রত্যেকটা জমিতে যাওয়ার সাথেসাথেই বীজের পরিমান দ্বিগুন হয়ে যায়। আর তিনি কোন বীজ অন্য কোথাও ফেলতে চাননা, বাড়িতেও ফেরত নিয়ে আসতে চাননা।
অর্থাৎ তিনি যদি ৫ কেজি বীজ নিয়ে বাড়ি থেকে বের হন তাহলে ১ম জমিতে যাওয়ার সাথে সাথে তা ১০ কেজি হয়ে যাবে এবং তা থেকে তিনি যদি কিছু পরিমান (যেমন ৫ কেজি) বপন করেন তাহলে বাকি থাকবে ৫ কেজি। এই ৫ কেজি নিয়ে ২য় জমিতে গেলে আবার দ্বিগুন অর্থাৎ ১০ কেজি হয়ে যাবে এবং সেখান থেকে আবার ৫ কেজি বপন করবেন। ৩য় জমির ক্ষেত্রেও একইরকম।
প্রশ্ন হল: ডেলটা সাহেবকে কত কেজি বীজ নিয়ে বাড়ি থেকে বের হতে হবে এবং প্রতেকটা জমিতে কত কেজি বীজ বপন করলে তার কাছে শেষে কোন বীজ থাকবেনা।

ইতোমধ্যে আপনি হয়ত সমাধান খোঁজতে শুরু করেছেন।কিন্তু উত্তর মিলছেনা। এত কষ্ট নাকরে খাতা কলম নিয়ে একট সমীকরণ বের করে ফেলেন। উত্তর পেয়ে যাবেন।

মনেকরি, ডেল্টা সাহেব x কেজি বীজ নিয়ে বাড়ি থেকে বের হবেন এবং প্রত্যেকটা জমিতে y কেজি বীজ বপন করবেন।

১ম জমিতে যেতেই বীজ হবে=2x
১ম জমিতে y বপন করলে বীজ থাকবে=2x-y
২য় জমিতে যেতেই বীজ হবে=(2x-y) X 2=>4x-2y
২য় জমিতে y বপন করলে বীজ হবে=4x-2y-y =>4x-3y
৩য় জমিতে যেতেই বীজ হবে=(4x-3y) X 2=>8x-6y
৩য় জমিতে y বপন করলে বীজ হবে=8x-6y-y =>8x-7y
যেহেতু, সবশেষে তার কাছে কোন বীজ থাকবেনা তাই 8x-7y=0
যা একটি সরলরেখার সমীকরণ এবং এই সরলরেখার উপর প্রত্যেকটি বিন্দুই ধাঁধাটির উত্তর।

x এবং y এর মান পূর্ণসংখ্যায় পেতে হলে আমাদেরকে আরও একটু কষ্ট করতে হবে।

উপরে সমীকরণ থেকে আমরা পাই x=(7 X y)/8
x পূর্ণসংখ্যা হবে যদি (7 X y)/8 বা (y/8) পূর্ণসংখ্যা হয়। আর (y/8) পূর্ণসংখ্যা হবে যখন y=8n (যেখানে n=1,2,3...)

তাহলে, y এর মান বসিয়ে আমরা পাই, x=7n
অর্থাৎ সমাধান হল:
x=7n
y=8n
n সকল মানের জন্যই আমরা ধাঁধাটির উত্তর পেয়ে যাব। এই কাজটি আপনার জন্য থাকল।

বি:দ্র: এই ব্লগে কোন লিখা শেয়ার করতে চাইলে ফেসবুকে যোগাযোগ করুন। আপনার নাম ও ফেসবুক প্রোফাইলসহ পোস্ট করা হবে।